Matemática - Função Módulo

O conceito de módulo de um número real está associado à ideia de distância de um ponto da reta à origem. Como existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os números reais, pensar na distância de um ponto à origem ou pensar no módulo de um número é exatamente a mesma coisa.

Assim,

pois o número 5 está a uma distância de 5 unidades da origem, e -5 também está a 5 unidades da origem.

De modo geral podemos dizer que:

se a>0,
se a<0,
se a=0,

Definimos então uma função que, a cada número real x associa o módulo de x, ou seja, a distância de x à origem. Temos assim:

O gráfico dessa função tem o seguinte aspecto:

pois, para os valores positivos ou zero da variável independente x, o valor da variável dependente y é o mesmo que x, pois y=x; para valores negativos de x o valor de y é

, pois y=-x. Dessa forma, o gráfico é constituído de duas semi-retas de mesma origem.

Outra maneira interessante de olhar para o gráfico de

é considerar que ele coincide com a reta y=x para valores de x positivos ou zero, enquanto que para valores negativos de x tomamos a semi-reta "rebatida", pois, nesse caso,

. Esta semi-reta "rebatida", evidentemente, é simétrica da original em relação ao eixo horizontal.

Essa última consideração nos permite rapidamente entender como será o gráfico de

para uma dada função f conhecida. De fato,

Portanto seu gráfico:

i) coincide com o gráfico de f para todos os valores da variável independente x nos quais a variável dependente é positiva ou zero;

ii) é o "rebatido" ou seja, simétrico com relação ao eixo horizontal do gráfico de f para todos os valores da variável independente x nos quais a variável dependente é negativa.

Dada uma função f, podemos pensar na função

.

De fato, pela definição da função valor absoluto de um número real, a função g pode ser entendida como sendo:

Observemos que para a construção desse novo gráfico só são considerados os valores de f em que a variável x é não negativa. Isto é, para x assumindo valores positivos ou zero, a função g coincide com a função f; para x assumindo valores negativos, a função g é igual à função f calculada no oposto de x.

Assim:

A parte do gráfico de f em que x é negativo é irrelevante para a construção do gráfico de g, ou seja, o gráfico de g apresenta simetria em relação ao eixo vertical.

fonte: e-calculo, usp

Aula Parte 1